畳み込み積分

今、時間 $t$ と共に変化する信号 $x(t)$ が下の図の太線のようになっていたとして、この信号を、先に示した単位インパルス関数を用いて表すことを考えよう。単位インパルス関数は、面積1の長方形 $\delta_\varepsilon (t) (1 < t < \varepsilon)$ で $\varepsilon \to 0$ の極限をとったものとして定義された。そこで、この $\delta_\varepsilon (t)$ を少しずつずらして、 $x(t)$ を構成する。$x(t)$ を離散時間 $\varepsilon$ で分割すると、下図の赤い矩形のようになる。

時間 $t$ での高さは、 $x(k\varepsilon) \delta_\varepsilon (t-k \varepsilon) \varepsilon$ で近似できる。 $k$ は、時間幅 $\varepsilon$ が何個あるかを表し、$x(k \varepsilon)$ は $t=k \varepsilon$ のときの $x(t)$ の値を表す。$\delta_\varepsilon (t-k \varepsilon)$ は $\delta_\varepsilon (t)$ が時間 $k \varepsilon$ だけずれたことを表し、$\delta_\varepsilon (t-k \varepsilon) \varepsilon$ は1である。例えば、$k=1$ なら、$x(\varepsilon) \delta_\varepsilon (t-\varepsilon) \varepsilon$ となるし（下図一つ目）、$k=-2$ なら、$x(-2 \varepsilon) \delta_\varepsilon (t+2 \varepsilon) \varepsilon$ となる（下図二つ目）。

これらを足し合わせると、 $$\begin{equation} x(t) \approx \sum_{k=-\infty}^\infty x(k\varepsilon) \delta_\varepsilon (t-k \varepsilon) \varepsilon \end{equation}$$ となる。で、近似を等式にするには、$\varepsilon \to 0$ の極限をとればよい。そうすると、$\delta_\varepsilon (t)$ は単位インパルス関数 $\delta (t)$ となり、次式が得られる。 $$\begin{equation} x(t) = \int_{-\infty}^\infty x(\tau) \delta(t-\tau) d\tau \end{equation}$$

重ね合わせの理

重ね合わせの理は、「電気回路で複数の電源があるとき、各電源（起電力）によって流れる電流を求め、それらの足し合わせが回路全体の電流に等しい」という定理です。例えば、以下のような電気回路を考えたとき、この回路に流れる電流はオームの法則から $$\begin{equation} I = \frac{E_1 + E_2}{R} \end{equation}$$ となります。

重ね合わせの理を使えば、一方の電源を取り除いて、片方ずつ電流を求め、後でそれらを足し合わることで、全体の電流を求めることができます。で、まず、一方の電源 $E_1$ を残して、もう一方の電源 $E_2$ を短絡しますと、この回路に流れる電流は、 $$\begin{equation} I_1 = \frac{E_1}{R} \end{equation}$$ となります。

次に、反対側の電源を戻して、先ほど残した電源を短絡します。そうしますと、この回路に流れる電流は、 $$\begin{equation} I_2 = \frac{E_2}{R} \end{equation}$$ となります。

で、求めた電流をそれぞれ足し合わせると、以下のように回路全体を流れる電流が求められるのです。 $$\begin{equation} I = \frac{E_1 + E_2}{R} \end{equation}$$ この回路は単純ですので、重ね合わせの理を用いなくても、冒頭のように起電力を足し合わせてオームの法則を適用するやり方で簡単に求めることができます。しかし、回路が複雑になると、重ね合わせの理は重宝することになります。

ここで、$E_1, E_2$ を入力、$I_1, I_2$ を出力と考えたとき、以下のことが成り立ちます。

1. 入力 ${E_1 + E_2}$ に対する出力は $I_1 + I_2$
2. 入力 $\alpha E_1$ に対する出力は $\alpha I_1$ （ $\alpha$ は定数 ）

このような関係は線形ですし、これを入出力システムとみれば、線形システムということになります（下図）。