基底の変換

先の線形変換では、座標$(x, y)$を変えずに、基底の変換を行いました。今度は、座標系の位置はそのままで、基底を変換したらどうなるか考えてみましょう。 まず、$\vec{a} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$、$\vec{b} = \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix}$としますと、この基底の下での座標$(2, 1)$は、 $$\begin{equation} 2 \vec{a} + 1 \vec{b} = 2 \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 11 \\ 10 \end{pmatrix} \end{equation}$$ となります。この座標ベクトル$\begin{pmatrix} 11 \\ 10 \end{pmatrix}$は、標準基底$\vec{e_1},\vec{e_2}$では $$\begin{equation} \begin{pmatrix} 11 \\ 10 \end{pmatrix} = 11 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + 10 \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = 11 \vec{e_1} + 10 \vec{e_2} \end{equation}$$ と表されます。

　ここで、基底$\vec{a},\vec{b}$自体を、標準基底$\vec{e_1},\vec{e_2}$で表しますと、 $$\begin{equation} \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} = z_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + z_2 \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix} = z_3 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + z_4 \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{equation}$$ となりますから、$z_1 = 3, z_2 = 4, z_3 = 5, z_4 = 2$です。これを、行列で表しますと、 $$\begin{equation} \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix} \end{equation}$$ となります。さらに列ベクトルを横に並べれば、 $$\begin{equation} \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 4 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 4 & 2 \end{pmatrix} \end{equation}$$ となります。ここで右辺の右側の行列を $A = \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}$ とおきますと、 $$\begin{equation} \begin{pmatrix} \vec{a} & \vec{b} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \vec{e_1} & \vec{e_2} \end{pmatrix} A \end{equation}$$ です。

　さて、基底$\vec{a},\vec{b}$の下での座標$(2, 1)$は与えられていましたが、本来未知です。そこで、この座標を$(i, j)$とおきますと、この座標ベクトルは、$i \vec{a} + j \vec{b}$と表されます。この式は、$\begin{pmatrix} \vec{a} & \vec{b} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} i \\ j \end{pmatrix}$ とも表され、$11 \vec{e_1} + 10 \vec{e_2}$ は $\begin{pmatrix} \vec{e_1} & \vec{e_2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 11 \\ 10 \end{pmatrix}$ とも表されますから、標準基底 $\vec{e_1},\vec{e_2}$ での座標ベクトル $\begin{pmatrix} 11 \\ 10 \end{pmatrix}$は、 $$\begin{equation} \begin{pmatrix} 11 \\ 10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \vec{e_1} & \vec{e_2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 11 \\ 10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \vec{a} & \vec{b} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} i \\ j \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \vec{e_1} & \vec{e_2} \end{pmatrix} A \begin{pmatrix} i \\ j \end{pmatrix} \end{equation}$$ となります。したがって、 $$\begin{equation} \begin{pmatrix} 11 \\ 10 \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} i \\ j \end{pmatrix} \end{equation}$$ を得ます。$\begin{pmatrix} i \\ j \end{pmatrix}$ を求めるには、左から $A$ の逆行列をかけます。 $$\begin{equation} \begin{pmatrix} i \\ j \end{pmatrix} = A^{-1} \begin{pmatrix} 11 \\ 10 \end{pmatrix} \end{equation}$$ $A = \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}$ですから、 $A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{-1}{7} & \frac{5}{14} \\ \frac{2}{7} & \frac{-3}{14} \end{pmatrix}$です。したがって、 $$\begin{equation} \begin{pmatrix} i \\ j \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{equation}$$ を得ます。ここまで標準基底 $\vec{e_1},\vec{e_2}$ を考えてきましたが、一般の基底 $\vec{c},\vec{d}$ に置き換えても構いません。つまり、基底を次のように変換する変換行列 $A$ があったとして、 $$\begin{equation} \begin{pmatrix} \vec{a} & \vec{b} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \vec{c} & \vec{d} \end{pmatrix} A \end{equation}$$ 基底 $\vec{c},\vec{d}$ の下での座標 $\begin{pmatrix} k \\ l \end{pmatrix}$ から基底 $\vec{a},\vec{b}$ の下での座標 $\begin{pmatrix} i \\ j \end{pmatrix}$ を求めるには、 $$\begin{equation} \begin{pmatrix} i \\ j \end{pmatrix} = A^{-1} \begin{pmatrix} k \\ l \end{pmatrix} \end{equation}$$ です。

線形変換

座標$(2, 1)$を原点からのベクトル$\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$と考えれば、 $$\begin{equation} \begin{pmatrix} 11 \\ 10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 4 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{equation}$$ となります。これは、線形変換$f$の表現行列が $$\begin{equation} A = \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 4 & 2 \end{pmatrix} \end{equation}$$ であるとき、$f$によって座標$(2, 1)$が$(11, 10)$に移されると考えることができます。図に描けば、以下のようになります。

標準基底を$\vec{e}_x = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$、$\vec{e}_y = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$にとりますと、座標$(x, y)$は、 $$\begin{equation} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = x \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + y \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = x \vec{e}_x + y \vec{e}_y \end{equation}$$ と表せます。これに線形変換$f$を施せば、 $$\begin{equation} f(x \vec{e}_x + y \vec{e}_y) = x f(\vec{e}_x) + y f(\vec{e}_y) = x \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} + y \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix} \end{equation}$$ となります。ここで、$\vec{a} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$、$\vec{b} = \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix}$としますと、 $$\begin{equation} \begin{pmatrix} x^\prime \\ y^\prime \end{pmatrix} = x \vec{a} + y \vec{b} \end{equation}$$ を得ます。$\vec{a}$、$\vec{b}$を基底と考えると、$\begin{pmatrix} x^\prime \\ y^\prime \end{pmatrix}$は、$\vec{a}$、$\vec{b}$が張る座標系上の座標$(x, y)$となります。図に描けば、以下のようになります。

つまり、線形変換$f$は、標準基底で$x \vec{e}_x + y \vec{e}_y$と表される座標を、基底$\vec{a}$、$\vec{b}$で$x \vec{a} + y \vec{b}$と表される座標に移す変換と考えることができます。別の言い方をすれば、標準基底の直交座標系での座標$(x, y)$を、基底$\vec{a}$、$\vec{b}$が張る座標系での座標$(x, y)$に移す変換ということができます。