線形変換

座標$(2, 1)$を原点からのベクトル$\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$と考えれば、 $$\begin{equation} \begin{pmatrix} 11 \\ 10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 4 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{equation}$$ となります。これは、線形変換$f$の表現行列が $$\begin{equation} A = \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 4 & 2 \end{pmatrix} \end{equation}$$ であるとき、$f$によって座標$(2, 1)$が$(11, 10)$に移されると考えることができます。図に描けば、以下のようになります。

標準基底を$\vec{e}_x = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$、$\vec{e}_y = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$にとりますと、座標$(x, y)$は、 $$\begin{equation} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = x \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + y \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = x \vec{e}_x + y \vec{e}_y \end{equation}$$ と表せます。これに線形変換$f$を施せば、 $$\begin{equation} f(x \vec{e}_x + y \vec{e}_y) = x f(\vec{e}_x) + y f(\vec{e}_y) = x \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} + y \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix} \end{equation}$$ となります。ここで、$\vec{a} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$、$\vec{b} = \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix}$としますと、 $$\begin{equation} \begin{pmatrix} x^\prime \\ y^\prime \end{pmatrix} = x \vec{a} + y \vec{b} \end{equation}$$ を得ます。$\vec{a}$、$\vec{b}$を基底と考えると、$\begin{pmatrix} x^\prime \\ y^\prime \end{pmatrix}$は、$\vec{a}$、$\vec{b}$が張る座標系上の座標$(x, y)$となります。図に描けば、以下のようになります。

つまり、線形変換$f$は、標準基底で$x \vec{e}_x + y \vec{e}_y$と表される座標を、基底$\vec{a}$、$\vec{b}$で$x \vec{a} + y \vec{b}$と表される座標に移す変換と考えることができます。別の言い方をすれば、標準基底の直交座標系での座標$(x, y)$を、基底$\vec{a}$、$\vec{b}$が張る座標系での座標$(x, y)$に移す変換ということができます。