対角化の導出

　前回、対角化をやりました。その定義と意味、具体例は述べましたが、なぜそうなるかは示しませんでした。今回はそれを示します。
　行列$A$は$n \times n$の正方行列だとして、その固有値を$\lambda_1, \lambda_2, \cdots , \lambda_n$、これに対する固有ベクトルを$\vec{x_1}, \vec{x_2}, \cdots , \vec{x_n}$としますと、次式が成り立ちます。 $$\begin{equation} A \vec{x_1} = \lambda_1 \vec{x_1} \\ A \vec{x_2} = \lambda_2 \vec{x_2} \\ \cdots \\ A \vec{x_n} = \lambda_n \vec{x_n} \end{equation}$$ 固有ベクトルを並べた行列$P = \begin{pmatrix} \vec{x_1} & \vec{x_2} & \cdots & \vec{x_n} \end{pmatrix}$を作ると、 $$\begin{equation} A P = \begin{pmatrix} \lambda_1 \vec{x_1} & \lambda_2 \vec{x_2} & \cdots & \lambda_n \vec{x_n} \end{pmatrix} = P \left( \begin{array}{ccccc} \lambda_1&0&0&\cdots &0\\ 0&\lambda_2&0&\cdots &0\\ 0&0&\lambda_3&\cdots &0\\ &\vdots&&\ddots&\\ 0&0&0&\cdots &\lambda_n \end{array} \right) \end{equation}$$ となります。ここで、列ベクトルごとに$\lambda$をかける次式を使っています。 $$\begin{equation} \left( \begin{array}{rrcr} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccccc} \lambda_1&0&0&\cdots &0\\ 0&\lambda_2&0&\cdots &0\\ 0&0&\lambda_3&\cdots &0\\ &\vdots&&\ddots&\\ 0&0&0&\cdots &\lambda_n \end{array} \right) = \left( \begin{array}{rrcr} \lambda_1 a_{11} & \lambda_2 a_{12} & \cdots & \lambda_n a_{1n} \\ \lambda_1 a_{21} & \lambda_2 a_{22} & \cdots & \lambda_n a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \lambda_1 a_{n1} & \lambda_2 a_{n2} & \cdots & \lambda_n a_{nn} \end{array} \right) \end{equation}$$ 行列$P$が逆行列を持てば、先の式の両辺に左から$P^{-1}$をかけて $$\begin{equation} P^{-1}AP = \left( \begin{array}{ccccc} \lambda_1&0&0&\cdots &0\\ 0&\lambda_2&0&\cdots &0\\ 0&0&\lambda_3&\cdots &0\\ &\vdots&&\ddots&\\ 0&0&0&\cdots &\lambda_n \end{array} \right) \end{equation}$$ を得ます。