固有値と固有ベクトル

　線形変換の表現行列が$A$のとき、座標$(x, y)$は、$(x', y')$に移されます。このとき、元の座標値を定数倍する組合せが存在します。例えば、 $$\begin{equation} A = \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 4 & 2 \end{pmatrix} \end{equation}$$ でしたら、座標$(2, 1)$は、$(11, 10)$に移されます。もし、座標$(2, 1)$を原点からのベクトル$\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$と考えますと、そのベクトルは線形変換によって大きさも方向も異なるベクトル$\begin{pmatrix} 11 \\ 10 \end{pmatrix}$に移されます。図に描けば、以下のようになます。

このとき、ベクトルを$\begin{pmatrix} 5 \\ 4 \end{pmatrix}$のようにとりますと、$\begin{pmatrix} 35 \\ 28 \end{pmatrix}$に移されます。これは、元のベクトルと方向は同じで、大きさが定数倍（7倍）になっています。つまり、次式が成り立ちます。 $$\begin{equation} A \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \lambda \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \end{equation}$$ $\lambda$を固有値、$\begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix}^T$を固有ベクトルと言います。どうしてこのようになるかは、この後の回の「対角化」の説明を見ていただくとして、ここでは、$2\times2$行列$A$の固有値、固有ベクトルを求めてみましょう。上記の式から、次式が成り立ちます。 $$\begin{equation} A \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \lambda \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 3 - \lambda & 5 \\ 4 & 2 - \lambda \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{equation}$$ この式がベクトル$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$を持つ条件は、次式で与えられます。 $$\begin{equation} \det \begin{pmatrix} 3 - \lambda & 5 \\ 4 & 2 - \lambda \end{pmatrix} = 0 \end{equation}$$ したがって $$\begin{equation} (3 - \lambda) (2 - \lambda) - 20 = \lambda^2 -5 \lambda -14 = 0 \end{equation}$$ これを解くと、$\lambda = -2, 7$です。固有値が$\lambda = -2$のとき、固有ベクトルは$\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$となります。固有値が$\lambda = 7$のとき、固有ベクトルは$\begin{pmatrix} 5 \\ 4 \end{pmatrix}$となります。