対角化

　正方行列$A$に対して、固有ベクトルを並べた正方行列$P$を取ると、対角行列は$P^{-1}AP$のように求められます。この操作は対角化と呼ばれます。対角行列というのは、正方行列の右斜め下方向の対角成分だけを持つ行列です。 $$\begin{equation} P^{-1}AP = \left( \begin{array}{ccccc} \lambda_1&0&0&\cdots &0\\ 0&\lambda_2&0&\cdots &0\\ 0&0&\lambda_3&\cdots &0\\ &\vdots&&\ddots&\\ 0&0&0&\cdots &\lambda_n \end{array} \right) \end{equation}$$ ここで、$\lambda_1, \lambda_2, \cdots , \lambda_n$は正方行列$A$の固有値になります。正方行列$A$が行と列にそれぞれ$n$個ずつの成分を持てば、$n$次正方行列と言います。 $$\begin{equation} A = \left( \begin{array}{rrcr} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{array} \right) \end{equation}$$ また、$P$は、正方行列$A$の固有値に対応する固有ベクトルを並べたものです。固有ベクトルを$\vec{x_1}, \vec{x_2}, \cdots , \vec{x_n}$とおけば、対角化の操作に使われる正方行列$P$は $$\begin{equation} P = \begin{pmatrix} \vec{x_1} & \vec{x_2} & \cdots & \vec{x_n} \end{pmatrix} \end{equation}$$ となります。
　対角行列を具体的に求める前に、対角化の意味とメリットを考えてみましょう。$P^{-1}AP$という行列表現は、新しい基底を座標系とした場合の線形変換を表しました。ただし、新しい基底は固有ベクトルの組になっていて、線形変換の行列表現は対角行列になっています。対角化操作を表す式を$m$乗すると、 $$\begin{equation} ( P^{-1}AP )^m = \left( \begin{array}{ccccc} \lambda_1&0&0&\cdots &0\\ 0&\lambda_2&0&\cdots &0\\ 0&0&\lambda_3&\cdots &0\\ &\vdots&&\ddots&\\ 0&0&0&\cdots &\lambda_n \end{array} \right)^m \end{equation}$$ となります。左辺は、 $$\begin{equation} ( P^{-1}AP ) ( P^{-1}AP ) \cdots ( P^{-1}AP ) = P^{-1}A^mP \end{equation}$$ となります。対角行列を$m$回かけた行列は対角成分をそれぞれ$m$乗したものになりますから、右辺は $$\begin{equation} \left( \begin{array}{ccccc} \lambda_1^m &0&0&\cdots &0\\ 0&\lambda_2^m &0&\cdots &0\\ 0&0&\lambda_3^m &\cdots &0\\ &\vdots&&\ddots&\\ 0&0&0&\cdots &\lambda_n^m \end{array} \right) \end{equation}$$ となります。つまり、 $$\begin{equation} P^{-1}A^mP = \left( \begin{array}{ccccc} \lambda_1^m &0&0&\cdots &0\\ 0&\lambda_2^m &0&\cdots &0\\ 0&0&\lambda_3^m &\cdots &0\\ &\vdots&&\ddots&\\ 0&0&0&\cdots &\lambda_n^m \end{array} \right) \end{equation}$$ です。ここで、両辺の左から$P$を、右から$P^{-1}$をかけると、 $$\begin{equation} A^m = P \left( \begin{array}{ccccc} \lambda_1^m &0&0&\cdots &0\\ 0&\lambda_2^m &0&\cdots &0\\ 0&0&\lambda_3^m &\cdots &0\\ &\vdots&&\ddots&\\ 0&0&0&\cdots &\lambda_n^m \end{array} \right) P^{-1} \end{equation}$$ となります。したがって、行列の$m$乗の計算を単純にできるのです。
　では、行列の対角化を具体的に行ってみましょう。正方行列$A$を $$\begin{equation} A = \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 4 & 2 \end{pmatrix} \end{equation}$$ とします。前の回で固有値と固有ベクトルは求めました。それを使えば、固有ベクトルを並べた行列 $P = \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ -1 & 4 \end{pmatrix}$ に対して $$\begin{equation} P^{-1}AP = \begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 0 & 7 \end{pmatrix} \end{equation}$$ となります。固有値と固有ベクトルは対応する順番に並べることに注意します。