基底の変換

先の線形変換では、座標\((x, y)\)を変えずに、基底の変換を行いました。今度は、座標系の位置はそのままで、基底を変換したらどうなるか考えてみましょう。 まず、\( \vec{a} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} \)、\( \vec{b} = \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix} \)としますと、この基底の下での座標\((2, 1)\)は、 \begin{equation} 2 \vec{a} + 1 \vec{b} = 2 \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 11 \\ 10 \end{pmatrix} \end{equation} となります。この座標ベクトル\( \begin{pmatrix} 11 \\ 10 \end{pmatrix} \)は、標準基底\(\vec{e_1},\vec{e_2}\)では \begin{equation} \begin{pmatrix} 11 \\ 10 \end{pmatrix} = 11 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + 10 \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = 11 \vec{e_1} + 10 \vec{e_2} \end{equation} と表されます。

　ここで、基底\(\vec{a},\vec{b}\)自体を、標準基底\(\vec{e_1},\vec{e_2}\)で表しますと、 \begin{equation} \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} = z_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + z_2 \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix} = z_3 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + z_4 \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{equation} となりますから、\( z_1 = 3, z_2 = 4, z_3 = 5, z_4 = 2 \)です。これを、行列で表しますと、 \begin{equation} \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix} \end{equation} となります。さらに列ベクトルを横に並べれば、 \begin{equation} \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 4 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 4 & 2 \end{pmatrix} \end{equation} となります。ここで右辺の右側の行列を \( A = \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 4 & 2 \end{pmatrix} \) とおきますと、 \begin{equation} \begin{pmatrix} \vec{a} & \vec{b} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \vec{e_1} & \vec{e_2} \end{pmatrix} A \end{equation} です。

　さて、基底\(\vec{a},\vec{b}\)の下での座標\((2, 1)\)は与えられていましたが、本来未知です。そこで、この座標を\((i, j)\)とおきますと、この座標ベクトルは、\( i \vec{a} + j \vec{b} \)と表されます。この式は、\( \begin{pmatrix} \vec{a} & \vec{b} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} i \\ j \end{pmatrix} \) とも表され、\( 11 \vec{e_1} + 10 \vec{e_2} \) は \( \begin{pmatrix} \vec{e_1} & \vec{e_2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 11 \\ 10 \end{pmatrix} \) とも表されますから、標準基底 \(\vec{e_1},\vec{e_2}\) での座標ベクトル \( \begin{pmatrix} 11 \\ 10 \end{pmatrix} \)は、 \begin{equation} \begin{pmatrix} 11 \\ 10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \vec{e_1} & \vec{e_2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 11 \\ 10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \vec{a} & \vec{b} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} i \\ j \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \vec{e_1} & \vec{e_2} \end{pmatrix} A \begin{pmatrix} i \\ j \end{pmatrix} \end{equation} となります。したがって、 \begin{equation} \begin{pmatrix} 11 \\ 10 \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} i \\ j \end{pmatrix} \end{equation} を得ます。\( \begin{pmatrix} i \\ j \end{pmatrix} \) を求めるには、左から \( A \) の逆行列をかけます。 \begin{equation} \begin{pmatrix} i \\ j \end{pmatrix} = A^{-1} \begin{pmatrix} 11 \\ 10 \end{pmatrix} \end{equation} \( A = \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 4 & 2 \end{pmatrix} \)ですから、 \( A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{-1}{7} & \frac{5}{14} \\ \frac{2}{7} & \frac{-3}{14} \end{pmatrix} \)です。したがって、 \begin{equation} \begin{pmatrix} i \\ j \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{equation} を得ます。ここまで標準基底 \(\vec{e_1},\vec{e_2}\) を考えてきましたが、一般の基底 \(\vec{c},\vec{d}\) に置き換えても構いません。つまり、基底を次のように変換する変換行列 \( A \) があったとして、 \begin{equation} \begin{pmatrix} \vec{a} & \vec{b} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \vec{c} & \vec{d} \end{pmatrix} A \end{equation} 基底 \(\vec{c},\vec{d}\) の下での座標 \(\begin{pmatrix} k \\ l \end{pmatrix}\) から基底 \(\vec{a},\vec{b}\) の下での座標 \(\begin{pmatrix} i \\ j \end{pmatrix}\) を求めるには、 \begin{equation} \begin{pmatrix} i \\ j \end{pmatrix} = A^{-1} \begin{pmatrix} k \\ l \end{pmatrix} \end{equation} です。

線形変換

座標\((2, 1)\)を原点からのベクトル\(\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}\)と考えれば、 \begin{equation} \begin{pmatrix} 11 \\ 10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 4 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{equation} となります。これは、線形変換\(f\)の表現行列が \begin{equation} A = \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 4 & 2 \end{pmatrix} \end{equation} であるとき、\(f\)によって座標\((2, 1)\)が\((11, 10)\)に移されると考えることができます。図に描けば、以下のようになります。

標準基底を\(\vec{e}_x = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \)、\(\vec{e}_y = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \)にとりますと、座標\((x, y)\)は、 \begin{equation} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = x \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + y \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = x \vec{e}_x + y \vec{e}_y \end{equation} と表せます。これに線形変換\(f\)を施せば、 \begin{equation} f(x \vec{e}_x + y \vec{e}_y) = x f(\vec{e}_x) + y f(\vec{e}_y) = x \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} + y \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix} \end{equation} となります。ここで、\( \vec{a} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} \)、\( \vec{b} = \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix} \)としますと、 \begin{equation} \begin{pmatrix} x^\prime \\ y^\prime \end{pmatrix} = x \vec{a} + y \vec{b} \end{equation} を得ます。\( \vec{a} \)、\( \vec{b} \)を基底と考えると、\( \begin{pmatrix} x^\prime \\ y^\prime \end{pmatrix} \)は、\( \vec{a} \)、\( \vec{b} \)が張る座標系上の座標\((x, y)\)となります。図に描けば、以下のようになります。

つまり、線形変換\(f\)は、標準基底で\( x \vec{e}_x + y \vec{e}_y \)と表される座標を、基底\( \vec{a} \)、\( \vec{b} \)で\( x \vec{a} + y \vec{b} \)と表される座標に移す変換と考えることができます。別の言い方をすれば、標準基底の直交座標系での座標\((x, y)\)を、基底\( \vec{a} \)、\( \vec{b} \)が張る座標系での座標\((x, y)\)に移す変換ということができます。