畳み込み積分

今、時間 \( t \) と共に変化する信号 \( x(t) \) が下の図の太線のようになっていたとして、この信号を、先に示した単位インパルス関数を用いて表すことを考えよう。単位インパルス関数は、面積1の長方形 \( \delta_\varepsilon (t) (1 < t < \varepsilon) \) で \( \varepsilon \to 0 \) の極限をとったものとして定義された。そこで、この \( \delta_\varepsilon (t) \) を少しずつずらして、 \( x(t) \) を構成する。\( x(t) \) を離散時間 \( \varepsilon \) で分割すると、下図の赤い矩形のようになる。

時間 \( t \) での高さは、 \( x(k\varepsilon) \delta_\varepsilon (t-k \varepsilon) \varepsilon \) で近似できる。 \( k \) は、時間幅 \( \varepsilon \) が何個あるかを表し、\( x(k \varepsilon) \) は \( t=k \varepsilon \) のときの \( x(t) \) の値を表す。\( \delta_\varepsilon (t-k \varepsilon) \) は \( \delta_\varepsilon (t) \) が時間 \( k \varepsilon \) だけずれたことを表し、\( \delta_\varepsilon (t-k \varepsilon) \varepsilon \) は1である。例えば、\( k=1 \) なら、\( x(\varepsilon) \delta_\varepsilon (t-\varepsilon) \varepsilon \) となるし（下図一つ目）、\( k=-2 \) なら、\( x(-2 \varepsilon) \delta_\varepsilon (t+2 \varepsilon) \varepsilon \) となる（下図二つ目）。

これらを足し合わせると、 \begin{equation} x(t) \approx \sum_{k=-\infty}^\infty x(k\varepsilon) \delta_\varepsilon (t-k \varepsilon) \varepsilon \end{equation} となる。で、近似を等式にするには、\( \varepsilon \to 0 \) の極限をとればよい。そうすると、\( \delta_\varepsilon (t) \) は単位インパルス関数 \( \delta (t) \) となり、次式が得られる。 \begin{equation} x(t) = \int_{-\infty}^\infty x(\tau) \delta(t-\tau) d\tau \end{equation}

重ね合わせの理

重ね合わせの理は、「電気回路で複数の電源があるとき、各電源（起電力）によって流れる電流を求め、それらの足し合わせが回路全体の電流に等しい」という定理です。例えば、以下のような電気回路を考えたとき、この回路に流れる電流はオームの法則から \begin{equation} I = \frac{E_1 + E_2}{R} \end{equation} となります。

重ね合わせの理を使えば、一方の電源を取り除いて、片方ずつ電流を求め、後でそれらを足し合わることで、全体の電流を求めることができます。で、まず、一方の電源 \( E_1 \) を残して、もう一方の電源 \( E_2 \) を短絡しますと、この回路に流れる電流は、 \begin{equation} I_1 = \frac{E_1}{R} \end{equation} となります。

次に、反対側の電源を戻して、先ほど残した電源を短絡します。そうしますと、この回路に流れる電流は、 \begin{equation} I_2 = \frac{E_2}{R} \end{equation} となります。

で、求めた電流をそれぞれ足し合わせると、以下のように回路全体を流れる電流が求められるのです。 \begin{equation} I = \frac{E_1 + E_2}{R} \end{equation} この回路は単純ですので、重ね合わせの理を用いなくても、冒頭のように起電力を足し合わせてオームの法則を適用するやり方で簡単に求めることができます。しかし、回路が複雑になると、重ね合わせの理は重宝することになります。

ここで、\( E_1, E_2 \) を入力、\( I_1, I_2 \) を出力と考えたとき、以下のことが成り立ちます。

1. 入力 \( {E_1 + E_2} \) に対する出力は \( I_1 + I_2 \)
2. 入力 \( \alpha E_1 \) に対する出力は \( \alpha I_1 \) （ \( \alpha \) は定数 ）

このような関係は線形ですし、これを入出力システムとみれば、線形システムということになります（下図）。