単位インパルス関数

\( t < 0 \) のとき 0 で、\( t \ge 0 \) のとき 1 となる関数を考えます。でも、これだと、下の図のように \( t = 0 \) のところで不連続になってしまいます。で、その右の図のように、0 から 1 に変化するところに幅 \( \varepsilon \) を持たせます。これで、一応連続になります。

\( \varepsilon \to 0 \) のように極限をとりますと、以下のようになります。これが単位ステップ関数というものです。 \begin{equation} u(t) = \lim_{\varepsilon \to 0} u_\varepsilon (t) \end{equation} ここで、上の右図に対して範囲を区切って微分します（\( t=0, t=\varepsilon \)では微分不可能）。 \begin{equation} \delta_\varepsilon (t) = \frac{{\rm d} u_\varepsilon (t)}{{\rm d} t} \end{equation} このとき、\( \delta_\varepsilon (t) \) として面積1の長方形を考えます（下図右）。そうしますと、 \begin{equation} \frac{1}{\varepsilon} （ 0 < t < \varepsilon ）\\ 0 \ \ （ それ以外 ） \end{equation} となります。ここで、\( \varepsilon \to 0 \) のように極限をとりますと、以下のようになります。 \begin{equation} \delta (t) = \lim_{\varepsilon \to 0} \delta_\varepsilon (t) \end{equation} これが単位インパルス関数（ディラックのデルタ関数）です。\( \varepsilon \to 0 \)としたとき、\( \delta (t) \) は \( \infty \) になりますので、図では正確に書き表せません。で、便宜的に大きさ1の矢印とします（下図左）。

つまり、 \begin{equation} \int_{-\infty}^\infty \delta(t) dt = \lim_{\varepsilon \to 0} \int_0^\varepsilon \delta(t) dt = \lim_{\varepsilon \to 0} \int_0^\varepsilon \frac{1}{\varepsilon} dt = 1 \end{equation} ということです。関数 \( f(t) \) を考えた場合、\( f(0) \) は \begin{equation} \int_{-\infty}^\infty f(t) \delta(t) dt = f(0) \end{equation} となります。\( t = \tau \) であれば、単位インパルス関数 \( \delta (t) \) を \( \tau \) だけ平行移動した \( \delta (t - \tau ) \) を考えればよいのです。 \begin{equation} \int_{-\infty}^\infty f(t) \delta(t - \tau) dt = f(\tau) \end{equation}

で、単位ステップ関数 \( u(t) \) を、単位インパルス関数で表せば、次式となります。 \begin{equation} u (t) = \int_{-\infty}^\infty u(t) \delta( t - \tau ) dt = \int_0^\infty \delta (t-\tau) dt = \int_{-\infty}^t \delta(\tau) d\tau \end{equation}