単位インパルス関数

$t < 0$ のとき 0 で、$t \ge 0$ のとき 1 となる関数を考えます。でも、これだと、下の図のように $t = 0$ のところで不連続になってしまいます。で、その右の図のように、0 から 1 に変化するところに幅 $\varepsilon$ を持たせます。これで、一応連続になります。

$\varepsilon \to 0$ のように極限をとりますと、以下のようになります。これが単位ステップ関数というものです。 $$\begin{equation} u(t) = \lim_{\varepsilon \to 0} u_\varepsilon (t) \end{equation}$$ ここで、上の右図に対して範囲を区切って微分します（$t=0, t=\varepsilon$では微分不可能）。 $$\begin{equation} \delta_\varepsilon (t) = \frac{{\rm d} u_\varepsilon (t)}{{\rm d} t} \end{equation}$$ このとき、$\delta_\varepsilon (t)$ として面積1の長方形を考えます（下図右）。そうしますと、 $$\begin{equation} \frac{1}{\varepsilon} （ 0 < t < \varepsilon ）\\ 0 \ \ （ それ以外 ） \end{equation}$$ となります。ここで、$\varepsilon \to 0$ のように極限をとりますと、以下のようになります。 $$\begin{equation} \delta (t) = \lim_{\varepsilon \to 0} \delta_\varepsilon (t) \end{equation}$$ これが単位インパルス関数（ディラックのデルタ関数）です。$\varepsilon \to 0$としたとき、$\delta (t)$ は $\infty$ になりますので、図では正確に書き表せません。で、便宜的に大きさ1の矢印とします（下図左）。

つまり、 $$\begin{equation} \int_{-\infty}^\infty \delta(t) dt = \lim_{\varepsilon \to 0} \int_0^\varepsilon \delta(t) dt = \lim_{\varepsilon \to 0} \int_0^\varepsilon \frac{1}{\varepsilon} dt = 1 \end{equation}$$ ということです。関数 $f(t)$ を考えた場合、$f(0)$ は $$\begin{equation} \int_{-\infty}^\infty f(t) \delta(t) dt = f(0) \end{equation}$$ となります。$t = \tau$ であれば、単位インパルス関数 $\delta (t)$ を $\tau$ だけ平行移動した $\delta (t - \tau )$ を考えればよいのです。 $$\begin{equation} \int_{-\infty}^\infty f(t) \delta(t - \tau) dt = f(\tau) \end{equation}$$

で、単位ステップ関数 $u(t)$ を、単位インパルス関数で表せば、次式となります。 $$\begin{equation} u (t) = \int_{-\infty}^\infty u(t) \delta( t - \tau ) dt = \int_0^\infty \delta (t-\tau) dt = \int_{-\infty}^t \delta(\tau) d\tau \end{equation}$$