重ね合わせの理

重ね合わせの理は、「電気回路で複数の電源があるとき、各電源（起電力）によって流れる電流を求め、それらの足し合わせが回路全体の電流に等しい」という定理です。例えば、以下のような電気回路を考えたとき、この回路に流れる電流はオームの法則から \begin{equation} I = \frac{E_1 + E_2}{R} \end{equation} となります。

重ね合わせの理を使えば、一方の電源を取り除いて、片方ずつ電流を求め、後でそれらを足し合わることで、全体の電流を求めることができます。で、まず、一方の電源 \( E_1 \) を残して、もう一方の電源 \( E_2 \) を短絡しますと、この回路に流れる電流は、 \begin{equation} I_1 = \frac{E_1}{R} \end{equation} となります。

次に、反対側の電源を戻して、先ほど残した電源を短絡します。そうしますと、この回路に流れる電流は、 \begin{equation} I_2 = \frac{E_2}{R} \end{equation} となります。

で、求めた電流をそれぞれ足し合わせると、以下のように回路全体を流れる電流が求められるのです。 \begin{equation} I = \frac{E_1 + E_2}{R} \end{equation} この回路は単純ですので、重ね合わせの理を用いなくても、冒頭のように起電力を足し合わせてオームの法則を適用するやり方で簡単に求めることができます。しかし、回路が複雑になると、重ね合わせの理は重宝することになります。

ここで、\( E_1, E_2 \) を入力、\( I_1, I_2 \) を出力と考えたとき、以下のことが成り立ちます。

1. 入力 \( {E_1 + E_2} \) に対する出力は \( I_1 + I_2 \)
2. 入力 \( \alpha E_1 \) に対する出力は \( \alpha I_1 \) （ \( \alpha \) は定数 ）

このような関係は線形ですし、これを入出力システムとみれば、線形システムということになります（下図）。