畳み込み積分

今、時間 $t$ と共に変化する信号 $x(t)$ が下の図の太線のようになっていたとして、この信号を、先に示した単位インパルス関数を用いて表すことを考えよう。単位インパルス関数は、面積1の長方形 $\delta_\varepsilon (t) (1 < t < \varepsilon)$ で $\varepsilon \to 0$ の極限をとったものとして定義された。そこで、この $\delta_\varepsilon (t)$ を少しずつずらして、 $x(t)$ を構成する。$x(t)$ を離散時間 $\varepsilon$ で分割すると、下図の赤い矩形のようになる。

時間 $t$ での高さは、 $x(k\varepsilon) \delta_\varepsilon (t-k \varepsilon) \varepsilon$ で近似できる。 $k$ は、時間幅 $\varepsilon$ が何個あるかを表し、$x(k \varepsilon)$ は $t=k \varepsilon$ のときの $x(t)$ の値を表す。$\delta_\varepsilon (t-k \varepsilon)$ は $\delta_\varepsilon (t)$ が時間 $k \varepsilon$ だけずれたことを表し、$\delta_\varepsilon (t-k \varepsilon) \varepsilon$ は1である。例えば、$k=1$ なら、$x(\varepsilon) \delta_\varepsilon (t-\varepsilon) \varepsilon$ となるし（下図一つ目）、$k=-2$ なら、$x(-2 \varepsilon) \delta_\varepsilon (t+2 \varepsilon) \varepsilon$ となる（下図二つ目）。

これらを足し合わせると、 $$\begin{equation} x(t) \approx \sum_{k=-\infty}^\infty x(k\varepsilon) \delta_\varepsilon (t-k \varepsilon) \varepsilon \end{equation}$$ となる。で、近似を等式にするには、$\varepsilon \to 0$ の極限をとればよい。そうすると、$\delta_\varepsilon (t)$ は単位インパルス関数 $\delta (t)$ となり、次式が得られる。 $$\begin{equation} x(t) = \int_{-\infty}^\infty x(\tau) \delta(t-\tau) d\tau \end{equation}$$