畳み込み積分

今、時間 \( t \) と共に変化する信号 \( x(t) \) が下の図の太線のようになっていたとして、この信号を、先に示した単位インパルス関数を用いて表すことを考えよう。単位インパルス関数は、面積1の長方形 \( \delta_\varepsilon (t) (1 < t < \varepsilon) \) で \( \varepsilon \to 0 \) の極限をとったものとして定義された。そこで、この \( \delta_\varepsilon (t) \) を少しずつずらして、 \( x(t) \) を構成する。\( x(t) \) を離散時間 \( \varepsilon \) で分割すると、下図の赤い矩形のようになる。

時間 \( t \) での高さは、 \( x(k\varepsilon) \delta_\varepsilon (t-k \varepsilon) \varepsilon \) で近似できる。 \( k \) は、時間幅 \( \varepsilon \) が何個あるかを表し、\( x(k \varepsilon) \) は \( t=k \varepsilon \) のときの \( x(t) \) の値を表す。\( \delta_\varepsilon (t-k \varepsilon) \) は \( \delta_\varepsilon (t) \) が時間 \( k \varepsilon \) だけずれたことを表し、\( \delta_\varepsilon (t-k \varepsilon) \varepsilon \) は1である。例えば、\( k=1 \) なら、\( x(\varepsilon) \delta_\varepsilon (t-\varepsilon) \varepsilon \) となるし（下図一つ目）、\( k=-2 \) なら、\( x(-2 \varepsilon) \delta_\varepsilon (t+2 \varepsilon) \varepsilon \) となる（下図二つ目）。

これらを足し合わせると、 \begin{equation} x(t) \approx \sum_{k=-\infty}^\infty x(k\varepsilon) \delta_\varepsilon (t-k \varepsilon) \varepsilon \end{equation} となる。で、近似を等式にするには、\( \varepsilon \to 0 \) の極限をとればよい。そうすると、\( \delta_\varepsilon (t) \) は単位インパルス関数 \( \delta (t) \) となり、次式が得られる。 \begin{equation} x(t) = \int_{-\infty}^\infty x(\tau) \delta(t-\tau) d\tau \end{equation}