特異値分解

特異値分解についてお話しします。固有値分解が対象としているのは正方行列でした。特異値分解では、これを一般の行列に拡張します。つまり、行列 A に対して、直交行列 U, V、対角行列 S を用いて \begin{equation} \rm A = U S V^t \end{equation} のように分解します。 このとき、 \begin{equation} \rm S = \begin{pmatrix} s_1 & & \\ & s_2 & \\ & & \ddots \\ \end{pmatrix}, \\ \rm U = \begin{pmatrix} \vec{u_1} & \vec{u_2} & \cdots & \\ \end{pmatrix} \\ \rm V = \begin{pmatrix} \vec{v_1} & \vec{v_2} & \cdots & \\ \end{pmatrix} \end{equation} です。\( \rm S \) は特異値と言います。分解するときに使う直交行列はU, Vの2個になりますが、「正方行列の」という制限が外れます。従って、どんな行列にも使えます。ここで注意すべき点は、対角行列 S の行と列の数が異なるということです。対角からはみ出る要素はゼロになります。また、直交行列 U, V の要素数は異なります。

行列 A は正方行列である必要はありませんが、\( \rm AA^t \) は常に正方行列（対称行列）になります。ということは、この正方行列 \( \rm AA^t \) に対して固有値分解できるということです。つまり、対角行列 D として \begin{equation} \rm AA^t = U D U^t \end{equation} と変形できます。一方で、 \begin{equation} \rm AA^t = U S V^t (U S V^t)^t = U S V^t V S^t U^t = U SS^t U^t \end{equation} ですから、\( \rm D = SS^t \)です。同様に、 \begin{equation} \rm A^t A = V S^t S V^t \end{equation} です。

\begin{equation} \rm S^t S = \begin{pmatrix} s_1^2 & & \\ & s_2^2 & \\ & & \ddots \\ \end{pmatrix} \end{equation} ですから、\( \rm A^t A \) を求めて、その固有値を計算し、その正の平方根をとれば、特異値が求まるということです。