行列式

　2x2行列が \begin{equation}　 A = \begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix} \end{equation} ならば、その行列式は、 \begin{equation} a d - b c \end{equation} となります。行列の逆行列を求めるとき、成分を行列式の値で割る計算が入りますから、行列式の計算は重要です。行列式は英語でdeterminantといい、行列\(A\)の行列式は\( \det A \)と書きます。\( |A| \)とも書きます。例えば、2x2の行列が \begin{equation} B = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 4 & 5 \end{pmatrix} \end{equation} なら、その行列式は\( \det B = 3 \cdot 5 - 2 \cdot 4 = 7 \) となります。
　行列式は計算負荷が高いので、求めやすい形に変形します。このとき使われるのが、以下の行列式の計算法則です。ここでは6つ挙げていますが、逆行列の計算には(1),(2),(5)が主に用いられます。

(1) \( \det B = k \det A \)
　ただし、行列\(B\)は、行列\(A\)の1行の成分を\(k\)倍したものです。例えば、 \begin{equation} A = \begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix} \\ B = \begin{pmatrix} a & c \\ k b & k d \end{pmatrix} \end{equation} なら、 \begin{equation} \det A = a d - b c \\ \det B = k a d - k b c = k ( a d - b c ) = k \det A \end{equation} です。

(2) \( \det B = - \det A \)
　ただし、行列\(B\)は、行列\(A\)の1行の成分と別の1行の成分とを入れ替えたものです。例えば、 \begin{equation} A = \begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix} \\ B = \begin{pmatrix} b & d \\ a & c \end{pmatrix} \end{equation} なら、 \begin{equation} \det A = a d - b c \\ \det B = b c - a d = - ( a d - b c ) = - \det A \end{equation} です。

(3) \( \det A = 0 \)
　ただし、行列\(A\)の1行の成分と別の1行の成分とが等しいものです。例えば、 \begin{equation} A = \begin{pmatrix} a & c \\ a & c \end{pmatrix} \end{equation} なら、 \begin{equation} \det A = a c - a c = 0 \end{equation} です。

(4) \( \det C = \det A + \det B \)
　ただし、行列\(A, B, C\)ではそれぞれ1行の成分以外、すべて等しいという条件で、その1行について\(A\)の成分と\(B\)の成分の和が\(C\)の成分に等しくなっています。例えば、 \begin{equation} A = \begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix} \\ B = \begin{pmatrix} a & c \\ t & v \end{pmatrix} \\ C = \begin{pmatrix} a & c \\ b + t & d + v \end{pmatrix} \end{equation} なら、 \begin{equation} \det A + \det B = ( a d - b c ) + ( a v - c t ) = a ( d + v ) - c ( b + t ) = \det C \end{equation} です。

(5) \( \det B = \det A \)
　ただし、行列\(B\)は、行列\(A\)の1行の成分に、別の1行の成分の定数倍を足したものです。例えば、 \begin{equation} A = \begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix} \\ B = \begin{pmatrix} a & c \\ b + k a & d + k c \end{pmatrix} \end{equation} なら、 \begin{equation} \det B = a ( d + k c ) - c ( b + k a ) = a d - b c + k ( a c - a c ) = a d - b c = \det A \end{equation} です。

(6) \( \det A^T = \det A \)
　これは、転置をとっても行列式の値は変わらないことを示しています。例えば、 \begin{equation} A = \begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix} \\ A^T = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \end{equation} なら、 \begin{equation} \det A^T = a d - b c = \det A \end{equation} です。

　ここでは2x2行列の場合を扱いましたが、3x3行列、4x4以上の行列でも同様の性質が成り立ちます。