固有値と固有ベクトル

　線形変換の表現行列が\(A\)のとき、座標\((x, y)\)は、\((x', y')\)に移されます。このとき、元の座標値を定数倍する組合せが存在します。例えば、 \begin{equation} A = \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 4 & 2 \end{pmatrix} \end{equation} でしたら、座標\((2, 1)\)は、\((11, 10)\)に移されます。もし、座標\((2, 1)\)を原点からのベクトル\(\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}\)と考えますと、そのベクトルは線形変換によって大きさも方向も異なるベクトル\(\begin{pmatrix} 11 \\ 10 \end{pmatrix}\)に移されます。図に描けば、以下のようになます。

このとき、ベクトルを\(\begin{pmatrix} 5 \\ 4 \end{pmatrix}\)のようにとりますと、\(\begin{pmatrix} 35 \\ 28 \end{pmatrix}\)に移されます。これは、元のベクトルと方向は同じで、大きさが定数倍（7倍）になっています。つまり、次式が成り立ちます。 \begin{equation} A \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \lambda \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \end{equation} \(\lambda\)を固有値、\(\begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix}^T\)を固有ベクトルと言います。どうしてこのようになるかは、この後の回の「対角化」の説明を見ていただくとして、ここでは、\(2\times2\)行列\(A\)の固有値、固有ベクトルを求めてみましょう。上記の式から、次式が成り立ちます。 \begin{equation} A \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \lambda \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 3 - \lambda & 5 \\ 4 & 2 - \lambda \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{equation} この式がベクトル\( \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \)を持つ条件は、次式で与えられます。 \begin{equation} \det \begin{pmatrix} 3 - \lambda & 5 \\ 4 & 2 - \lambda \end{pmatrix} = 0 \end{equation} したがって \begin{equation} (3 - \lambda) (2 - \lambda) - 20 = \lambda^2 -5 \lambda -14 = 0 \end{equation} これを解くと、\(\lambda = -2, 7\)です。固有値が\(\lambda = -2\)のとき、固有ベクトルは\( \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \)となります。固有値が\(\lambda = 7\)のとき、固有ベクトルは\( \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \end{pmatrix} \)となります。